Lernmodus > Gemischte Verteilungen (Schwierigkeit: Leicht)

Frage: Eine Firma für Bohrmaschinen stellt mit 4% Ausschuss her. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter 100 zufällig gewählten Bohrmaschinen genau 3 Bohrmaschinen zum Ausschuss zählen?

Eingabehilfe (Wie gebe ich meine Lösung ein?)

Frage 1 / 5

Ein Bernoulli-Experiment ist ein Zufallsexperiment, bei dem es nur zwei Ausgänge gibt: Ereignis A tritt ein oder nicht. Wird ein Bernoulli-Experiment n-mal hintereinander unter derselben Bedingung ausgeführt, so spricht man von einer Bernoulli-Kette der Länge n.

Das Eintreten des Ereignisses A wird oft als Erfolg oder Treffer, das Nichteintreten als Misserfolg bezeichnet. Die Wahrscheinlichkeit P(A) = p heißt deshalb auch Erfolgswahrscheinlichkeit oder Trefferwahrscheinlichkeit.

Beispiel
Bernoulli-Experiment: Wurf eines Würfels, A = Wurf der Augenzahl "Eins" mit P(A) = 1/6.
Bernoulli-Kette: n-maliger Wurf des Würfels und jeweils Beobachtung von A = Augenzahl "Eins". Die Wahrscheinlichkeit für A ist bei jedem Wurf gleich 1/6.

Binomialverteilung
Gegeben ist eine Bernoulli-Kette der Länge n. Bei jeder der n Durchführungen kann ein bestimmtes Ereignis A mit der Wahrscheinlichkeit p eintreten (und das Gegenereignis ¬A mit der Wahrscheinlichkeit q = 1-p). Man interessiert sich für X = Anzahl der Versuchsdurchführungen, bei denen A eintritt. X kann die Werte k = 0,1,2,…,n annehmen. Die Wahrscheinlichkeit, dass A genau k-mal eintritt ist:

Binomialverteilung Formel

Man nennt die Zufallsvariable X binomialverteilt und ihre Wahrscheinlichkeitsverteilung eine Binomialverteilung mit den Parametern n,p.

Eigenschaften der Binomialverteilung

Erwartungswert μ = E(X) = n*p

Varianz σ² = Var(X) = n*p*q = n*p*(1-p)

Weiterführende Informationen finden sich in "Teschl Mathematik für Informatiker Band 2, Auflage 3, Kapitel 28.2, Seite 306-312".

Formel wurde erzeugt mit Latex Formeleditor.

Hypergeometrische Verteilung
Gegeben ist eine Grundgesamtheit aus N Elementen, von denen M eine bestimmte Eigenschaft haben. Man entnimmt eine Stichprobe vom Umfang n (ohne Zurücklegen). Dann kann die Zufallsvariable X = Anzahl der Elemente in der Stichprobe mit der gewünschten Eigenschaft höchstens die Werte k = 0,1,2,…,n annehmen. Die Wahrscheinlichkeit, genau k Elemente mit der gewünschten Eigenschaft in der Stichprobe vorzufinden, ist

Hypergeometrische Verteilung Formel

(für k > M bzw. n - k > N - M ist P(X = k) = 0 nach Definition des Binomialkoeffizienten – wir können nicht mehr Elemente mit einer bestimmten Eigenschaft ziehen als vorhanden sind). Man nennt X hypergeometrisch verteilt und die dazugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung eine hypergeometrische Verteilung mit den Parametern n,M und N.

Eigenschaften der hypergeometrischen Verteilung

Erwartungswert μ = E(X) = Hypergeometrische Verteilung Erwartungswert Formel

Varianz σ² = Var(X) = Hypergeometrische Verteilung Varianz Formel

Weiterführende Informationen finden sich in "Teschl Mathematik für Informatiker Band 2, Auflage 3, Kapitel 28.1, Seite 303-306".

Formeln wurden erzeugt mit Latex Formeleditor.