Frage: In einem Behälter befinden sich 16 Kugeln, davon sind 10 blau und 6 rot. Aus dem Behälter werden nun ohne Zurücklegen 6 Kugeln zufällig entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, in dieser Stichprobe genau 2 blaue Kugeln vorzufinden?
Hypergeometrische Verteilung
Gegeben ist eine Grundgesamtheit aus N Elementen, von denen M eine bestimmte Eigenschaft haben. Man entnimmt eine Stichprobe vom Umfang n (ohne Zurücklegen).
Dann kann die Zufallsvariable X = Anzahl der Elemente in der Stichprobe mit der gewünschten Eigenschaft höchstens die Werte k = 0,1,2,…,n annehmen.
Die Wahrscheinlichkeit, genau k Elemente mit der gewünschten Eigenschaft in der Stichprobe vorzufinden, ist
(für k > M bzw. n - k > N - M ist P(X = k) = 0 nach Definition des Binomialkoeffizienten – wir können nicht mehr Elemente mit einer bestimmten Eigenschaft ziehen als vorhanden sind). Man nennt X hypergeometrisch verteilt und die dazugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung eine hypergeometrische Verteilung mit den Parametern n,M und N.
Eigenschaften der hypergeometrischen Verteilung
Erwartungswert μ = E(X) =
Varianz σ² = Var(X) =
Weiterführende Informationen finden sich in "Teschl Mathematik für Informatiker Band 2, Auflage 3, Kapitel 28.1, Seite 303-306".
Formeln wurden erzeugt mit Latex Formeleditor.