Lernmodus > Binomialverteilung (Schwierigkeit: Mittel)

Frage: In einem Forum wird eine wichtige Frage gestellt. Personen, die eine Antwort formulieren, geben mit einer 56%igen Wahrscheinlichkeit die richtige Antwort. Wie viele Personen müssen mindestens auf die Frage antworten, damit man mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 98% zumindest eine richtige Antwort erhält?

Eingabehilfe (Wie gebe ich meine Lösung ein?)

Frage 1 / 4

Ein Bernoulli-Experiment ist ein Zufallsexperiment, bei dem es nur zwei Ausgänge gibt: Ereignis A tritt ein oder nicht. Wird ein Bernoulli-Experiment n-mal hintereinander unter derselben Bedingung ausgeführt, so spricht man von einer Bernoulli-Kette der Länge n.

Das Eintreten des Ereignisses A wird oft als Erfolg oder Treffer, das Nichteintreten als Misserfolg bezeichnet. Die Wahrscheinlichkeit P(A) = p heißt deshalb auch Erfolgswahrscheinlichkeit oder Trefferwahrscheinlichkeit.

Beispiel
Bernoulli-Experiment: Wurf eines Würfels, A = Wurf der Augenzahl "Eins" mit P(A) = 1/6.
Bernoulli-Kette: n-maliger Wurf des Würfels und jeweils Beobachtung von A = Augenzahl "Eins". Die Wahrscheinlichkeit für A ist bei jedem Wurf gleich 1/6.

Binomialverteilung
Gegeben ist eine Bernoulli-Kette der Länge n. Bei jeder der n Durchführungen kann ein bestimmtes Ereignis A mit der Wahrscheinlichkeit p eintreten (und das Gegenereignis ¬A mit der Wahrscheinlichkeit q = 1-p). Man interessiert sich für X = Anzahl der Versuchsdurchführungen, bei denen A eintritt. X kann die Werte k = 0,1,2,…,n annehmen. Die Wahrscheinlichkeit, dass A genau k-mal eintritt ist:

Binomialverteilung Formel

Man nennt die Zufallsvariable X binomialverteilt und ihre Wahrscheinlichkeitsverteilung eine Binomialverteilung mit den Parametern n,p.

Eigenschaften der Binomialverteilung

Erwartungswert μ = E(X) = n*p

Varianz σ² = Var(X) = n*p*q = n*p*(1-p)

Weiterführende Informationen finden sich in "Teschl Mathematik für Informatiker Band 2, Auflage 3, Kapitel 28.2, Seite 306-312".

Formel wurde erzeugt mit Latex Formeleditor.