Frage: Ein Schütze trifft sein Ziel mit einer Wahrscheinlichkeit von 50%. Mit welcher Wahrscheinlichkeit erzielt er bei 9 Schüssen mehr als 3 Treffer?
Ein Bernoulli-Experiment ist ein Zufallsexperiment, bei dem es nur zwei Ausgänge gibt: Ereignis A tritt ein oder nicht. Wird ein Bernoulli-Experiment n-mal hintereinander unter derselben Bedingung ausgeführt, so spricht man von einer Bernoulli-Kette der Länge n.
Das Eintreten des Ereignisses A wird oft als Erfolg oder Treffer, das Nichteintreten als Misserfolg bezeichnet. Die Wahrscheinlichkeit P(A) = p heißt deshalb auch Erfolgswahrscheinlichkeit oder Trefferwahrscheinlichkeit.
Beispiel
Bernoulli-Experiment: Wurf eines Würfels, A = Wurf der Augenzahl "Eins" mit P(A) = 1/6.
Bernoulli-Kette: n-maliger Wurf des Würfels und jeweils Beobachtung von A = Augenzahl "Eins".
Die Wahrscheinlichkeit für A ist bei jedem Wurf gleich 1/6.
Binomialverteilung
Gegeben ist eine Bernoulli-Kette der Länge n. Bei jeder der n Durchführungen kann ein bestimmtes Ereignis A mit der Wahrscheinlichkeit p eintreten
(und das Gegenereignis ¬A mit der Wahrscheinlichkeit q = 1-p). Man interessiert sich für X = Anzahl der Versuchsdurchführungen, bei denen A eintritt.
X kann die Werte k = 0,1,2,…,n annehmen. Die Wahrscheinlichkeit, dass A genau k-mal eintritt ist:
Man nennt die Zufallsvariable X binomialverteilt und ihre Wahrscheinlichkeitsverteilung eine Binomialverteilung mit den Parametern n,p.
Eigenschaften der Binomialverteilung
Erwartungswert μ = E(X) = n*p
Varianz σ² = Var(X) = n*p*q = n*p*(1-p)
Weiterführende Informationen finden sich in "Teschl Mathematik für Informatiker Band 2, Auflage 3, Kapitel 28.2, Seite 306-312".
Formel wurde erzeugt mit Latex Formeleditor.