Basiswissen

Stichproben




Bei der Variation werden k Elemente aus einer n-elementigen Menge gezogen. Die Reihenfolge in der Resultat-Liste ist dabei wichtig.

Erklärung
n: Anzahl der Objekte in Urne
k: Anzahl der Ziehungen = Elemente in der Resultat-Liste

Kann jedes Element nur einmal gezogen werden, handelt es sich um eine Variation ohne Wiederholung (Ziehen ohne Zurücklegen=ZoZ).
Formel:
Beispiel:
An einem Pferderennen nehmen 10 Pferde teil. Wie viele Möglichkeiten gibt es für die ersten drei Plätze?
Lösung:

Beispiel mit Urnenmodell:
Bei einem Contest nehmen 10 Teilnehmer teil. Wie viele Möglichkeiten gibt es, die Top 3 zusammenzustellen?


Kann jedes Element beliebig oft gezogen werden, handelt es sich um eine Variation mit Wiederholung (Ziehen mit Zurücklegen=ZmZ)
Formel:
Beispiel:
Wie viele Möglichkeiten gibt es ein 5 stelliges Wort aus dem Alphabet zu bilden?
Lösung:

Beispiel mit Urnenmodell:
Ein Fahrradschloss besteht aus vier Ringen mit den Einstellmoeglichkeiten von 0 bis 9. Wie viele Moeglichkeiten gibt es einen Code einzustellen?
Bei der Kombination werden k Elemente aus einer n-elementigen Menge gezogen. Die Reihenfolge in der resultierenden Teilmenge spielt keine Rolle.

Erklärung
n: Anzahl der Objekte in Urne
k: Anzahl der Ziehungen = Elemente in der resultierenden Teilmenge

Kann jedes Element nur einmal gezogen werden, handelt es sich um eine Kombination ohne Wiederholung (Ziehen ohne Zurücklegen = ZoZ).

Formel:

Beispiel:
Lotto Ziehung 6 aus 49: Wieviele Möglichkeiten gibt es?
Lösung:


Kann jedes Element beliebig oft gezogen werden, handelt es sich um eine Kombination mit Wiederholung (Ziehen mit Zurücklegen = ZmZ).

Formel:

Beispiel:
Aus einer Urne mit 6 Kugeln zieht man 3 mal eine Kugel und legt sie wieder zurück.
Lösung:

Beispiel mit Urnenmodell
Frage: Ein Obsthändler packt als Sonderangebot 10 Früchte vier verschiedener Sorten in Tüten. Wie viele verschiedene Fruchttüten kann es geben?

Lösung:

n-1 ist die Anzahl der Trennblätter, die man braucht, um in einer nach Objektklassen geordneten Menge AA|BBB|C|DDDDD die (hier: 4) Objektklassen zu trennen, daher kommt es zu dem „n-1“ in der Formel.

Zusatzwissen

Die Permutation ist eine Spezialform der Variation, bei der alle n Elemente ohne Zurücklegen gezogen werden (n=k, ZoZ).

Beispiel:
Bei einer Schnitzeljagd müssen 5 Stationen erreicht werden. Die Menge der Elemente n ist also 5 und auch k ist 5, da alle Stationen erreicht werden müssen.
Bei der Laplacesche Wahrscheinlichkeit sind alle Möglichkeiten des Versuchsausgangs gleichwahrscheinlich.
P(A) = Anzahl der zu A gehörigen möglichen Versuchsausgänge = günstige Fälle
Anzahl der überhaupt möglichen Versuchsausgängemögliche Fälle


Beispiel:

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit beim Würfelwurf eine 4 zu würfeln?
P({4}) = 1/6

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit eine 3 oder 5 zu würfeln?
P({3, 5}) = 2/6

n! wird „n-Fakultät“ gelesen.
Formel:n! = 1 ∙ 2 ∙…∙ n, n ∈

Beispiel:
5! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5

Sonderregel:
0! = 1

Für n, k ∈ ∪ {0} mit k ≤ n definiert man:

(Die letzte Regel gilt nur für k > 0.)
Beispiel:


Ein paar Regeln
Summenregel
Es gibt n Elemente mit Eigenschaft a und m Elemente mit Eigenschaft b. Die Eigenschaften a und b schließen sich gegenseitig aus. Dann gibt es n+m Möglichkeiten, ein Objekt mit der Eigenschaft a oder b auszuwählen.

Beispiel:
In einer Mietwagenfirma gibt es 3 Kleinwagen und 7 Mittelklassewagen. Da man sich für eines der Objekte entscheiden muss, gibt es insgesamt 3+7 Möglichkeiten.
Produktregel
Kann man etwas in zwei Teilschritte unterteilen, und gibt es im 1. Teilschritt n und im 2. Teilschritt m Möglichkeiten, so gibt es insgesamt n*m Möglichkeiten.

Beispiel:
Es gibt 3 Routen von Gummersbach nach Köln und 4 Routen von Köln nach Aachen. Insgesamt gibt es 3*4 Möglichkeiten, von Gummersbach nach Aachen zu fahren.