Basiswissen

Stichproben




Bei der Variation werden k Elemente aus einer n-elementigen Menge gezogen. Die Reihenfolge in der Resultat-Liste ist dabei wichtig.

Erklärung
n: Anzahl der Objekte in Urne
k: Anzahl der Ziehungen = Elemente in der Resultat-Liste

Kann jedes Element nur einmal gezogen werden, handelt es sich um eine Variation ohne Wiederholung (Ziehen ohne Zurücklegen=ZoZ).
Formel:
Beispiel:
An einem Pferderennen nehmen 10 Pferde teil. Wie viele Möglichkeiten gibt es für die ersten drei Plätze?
Lösung:

Beispiel mit Urnenmodell:
Bei einem Contest nehmen 10 Teilnehmer teil. Wie viele Möglichkeiten gibt es, die Top 3 zusammenzustellen?


Kann jedes Element beliebig oft gezogen werden, handelt es sich um eine Variation mit Wiederholung (Ziehen mit Zurücklegen=ZmZ)
Formel:
Beispiel:
Wie viele Möglichkeiten gibt es ein 5 stelliges Wort aus dem Alphabet zu bilden?
Lösung:

Beispiel mit Urnenmodell:
Ein Fahrradschloss besteht aus vier Ringen mit den Einstellmoeglichkeiten von 0 bis 9. Wie viele Moeglichkeiten gibt es einen Code einzustellen?
Bei der Kombination werden k Elemente aus einer n-elementigen Menge gezogen. Die Reihenfolge in der resultierenden Teilmenge spielt keine Rolle.

Erklärung
n: Anzahl der Objekte in Urne
k: Anzahl der Ziehungen = Elemente in der resultierenden Teilmenge

Kann jedes Element nur einmal gezogen werden, handelt es sich um eine Kombination ohne Wiederholung (Ziehen ohne Zurücklegen = ZoZ).

Formel:

Beispiel:
Lotto Ziehung 6 aus 49: Wieviele Möglichkeiten gibt es?
Lösung:


Kann jedes Element beliebig oft gezogen werden, handelt es sich um eine Kombination mit Wiederholung (Ziehen mit Zurücklegen = ZmZ).

Formel:

Beispiel:
Aus einer Urne mit 6 Kugeln zieht man 3 mal eine Kugel und legt sie wieder zurück.
Lösung:

Beispiel mit Urnenmodell
Frage: Ein Obsthändler packt als Sonderangebot 10 Früchte vier verschiedener Sorten in Tüten. Wie viele verschiedene Fruchttüten kann es geben?

Lösung:

n-1 ist die Anzahl der Trennblätter, die man braucht, um in einer nach Objektklassen geordneten Menge AA|BBB|C|DDDDD die (hier: 4) Objektklassen zu trennen, daher kommt es zu dem „n-1“ in der Formel.

Zusatzwissen

Die Permutation ist eine Spezialform der Variation, bei der alle n Elemente ohne Zurücklegen gezogen werden (n=k, ZoZ).

Beispiel:
Bei einer Schnitzeljagd müssen 5 Stationen erreicht werden. Die Menge der Elemente n ist also 5 und auch k ist 5, da alle Stationen erreicht werden müssen.
Bei der Laplacesche Wahrscheinlichkeit sind alle Möglichkeiten des Versuchsausgangs gleichwahrscheinlich.
P(A) = Anzahl der zu A gehörigen möglichen Versuchsausgänge = günstige Fälle
Anzahl der überhaupt möglichen Versuchsausgängemögliche Fälle


Beispiel:

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit beim Würfelwurf eine 4 zu würfeln?
P({4}) = 1/6

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit eine 3 oder 5 zu würfeln?
P({3, 5}) = 2/6

n! wird „n-Fakultät“ gelesen.
Formel:n! = 1 ∙ 2 ∙…∙ n, n ∈

Beispiel:
5! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5

Sonderregel:
0! = 1

Für n, k ∈ ∪ {0} mit k ≤ n definiert man:

(Die letzte Regel gilt nur für k > 0.)
Beispiel:


Ein paar Regeln
Summenregel
Es gibt n Elemente mit Eigenschaft a und m Elemente mit Eigenschaft b. Die Eigenschaften a und b schließen sich gegenseitig aus. Dann gibt es n+m Möglichkeiten, ein Objekt mit der Eigenschaft a oder b auszuwählen.

Beispiel:
In einer Mietwagenfirma gibt es 3 Kleinwagen und 7 Mittelklassewagen. Da man sich für eines der Objekte entscheiden muss, gibt es insgesamt 3+7 Möglichkeiten.
Produktregel
Kann man etwas in zwei Teilschritte unterteilen, und gibt es im 1. Teilschritt n und im 2. Teilschritt m Möglichkeiten, so gibt es insgesamt n*m Möglichkeiten.

Beispiel:
Es gibt 3 Routen von Gummersbach nach Köln und 4 Routen von Köln nach Aachen. Insgesamt gibt es 3*4 Möglichkeiten, von Gummersbach nach Aachen zu fahren.

Verteilungen

Ein Bernoulli-Experiment ist ein Zufallsexperiment, bei dem es nur zwei Ausgänge gibt: Ereignis A tritt ein oder nicht. Wird ein Bernoulli-Experiment n-mal hintereinander unter derselben Bedingung ausgeführt, so spricht man von einer Bernoulli-Kette der Länge n.

Das Eintreten des Ereignisses A wird oft als Erfolg oder Treffer, das Nichteintreten als Misserfolg bezeichnet. Die Wahrscheinlichkeit P(A) = p heißt deshalb auch Erfolgswahrscheinlichkeit oder Trefferwahrscheinlichkeit.

Beispiel
Bernoulli-Experiment: Wurf eines Würfels, A = Wurf der Augenzahl "Eins" mit P(A) = 1/6.
Bernoulli-Kette: n-maliger Wurf des Würfels und jeweils Beobachtung von A = Augenzahl "Eins". Die Wahrscheinlichkeit für A ist bei jedem Wurf gleich 1/6.

Binomialverteilung
Gegeben ist eine Bernoulli-Kette der Länge n. Bei jeder der n Durchführungen kann ein bestimmtes Ereignis A mit der Wahrscheinlichkeit p eintreten (und das Gegenereignis ¬A mit der Wahrscheinlichkeit q = 1-p). Man interessiert sich für X = Anzahl der Versuchsdurchführungen, bei denen A eintritt. X kann die Werte k = 0,1,2,…,n annehmen. Die Wahrscheinlichkeit, dass A genau k-mal eintritt ist:

Binomialverteilung Formel

Man nennt die Zufallsvariable X binomialverteilt und ihre Wahrscheinlichkeitsverteilung eine Binomialverteilung mit den Parametern n,p.

Eigenschaften der Binomialverteilung

Erwartungswert μ = E(X) = n*p

Varianz σ² = Var(X) = n*p*q = n*p*(1-p)

Weiterführende Informationen finden sich in "Teschl Mathematik für Informatiker Band 2, Auflage 3, Kapitel 28.2, Seite 306-312".

Formel wurde erzeugt mit Latex Formeleditor.

Hypergeometrische Verteilung
Gegeben ist eine Grundgesamtheit aus N Elementen, von denen M eine bestimmte Eigenschaft haben. Man entnimmt eine Stichprobe vom Umfang n (ohne Zurücklegen). Dann kann die Zufallsvariable X = Anzahl der Elemente in der Stichprobe mit der gewünschten Eigenschaft höchstens die Werte k = 0,1,2,…,n annehmen. Die Wahrscheinlichkeit, genau k Elemente mit der gewünschten Eigenschaft in der Stichprobe vorzufinden, ist

Hypergeometrische Verteilung Formel

(für k > M bzw. n - k > N - M ist P(X = k) = 0 nach Definition des Binomialkoeffizienten – wir können nicht mehr Elemente mit einer bestimmten Eigenschaft ziehen als vorhanden sind). Man nennt X hypergeometrisch verteilt und die dazugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung eine hypergeometrische Verteilung mit den Parametern n,M und N.

Eigenschaften der hypergeometrischen Verteilung

Erwartungswert μ = E(X) = Hypergeometrische Verteilung Erwartungswert Formel

Varianz σ² = Var(X) = Hypergeometrische Verteilung Varianz Formel

Weiterführende Informationen finden sich in "Teschl Mathematik für Informatiker Band 2, Auflage 3, Kapitel 28.1, Seite 303-306".

Formeln wurden erzeugt mit Latex Formeleditor.

Damit man die Binomialverteilung anwenden kann, muss zunächst ein Experiment mit genau zwei Ausgängen vorliegen (Treffer oder Misserfolg). Ferner muss ein Experiment n-mal gleichartig wiederholt werden. Die Binomialverteilung beantwortet mit P(X=k) dann die Frage, wie wahrscheinlich es ist, dass genau k = 0, …, n Treffer auftreten.

Beispiel: n-mal Würfeln ist zunächst ein n-mal wiederholtes Experiment mit je sechs Ausgängen. Die Binomialverteilung scheint also zunächst nicht anwendbar. Wenn aber die Frage lautet „Wie wahrscheinlich ist 2-mal „6“ in n=10 Würfen?“, dann werden die ursprünglich 6 Ausgänge auf 2 reduziert: Treffer = {„6“} und Misserfolg = {„1“, „2“, „3“, „4“, „5“}. Die Binomialverteilung ist auf diese Frage anwendbar.

NICHT anwendbar ist die Binomialverteilung z. B. auf Fragestellungen wie: „Wie wahrscheinlich ist es, dass ein zufällig gebildetes Wort mit 10 Großbuchstaben mit „AB“ beginnt?“, denn hier liegt kein Experiment mit zwei Ausgängen vor. Hier muss man mit anderen Methoden der Kombinatorik arbeiten.

Bei der Binomialverteilung müssen alle n Experimente gleichartig sein. Dies geht entweder, wenn durch „Ziehen mit Zurücklegen“ immer wieder die gleichen Bedingungen hergestellt werden, oder wenn die Reservoirs, aus denen gezogen wird, unendlich groß sind (Beispiel: ein Förderband in der Produktion).

Handelt es sich um „Ziehen ohne Zurücklegen“, dann gelangt man in den Bereich der hypergeometrischen Verteilung. Auch hier müssen wieder genau zwei Ausgänge (Treffer oder Misserfolg) vorliegen. Ein anderes Bild dafür ist, dass sich in einer Urne Kugeln von zwei Sorten befinden: Die einen haben eine bestimmte Eigenschaft (z.B. weiß zu sein), die anderen haben diese Eigenschaft nicht. Diese Kugeln werden nun ohne Zurücklegen gezogen.

Zusatzwissen Zählverfahren

Für disjunkte Mengen gilt die Summenregel.

Für nicht-disjunkte Mengen wird das Inklusions-Exklusions-Prinzip benutzt. Dabei wird die Anzahl der Mengen summiert und die doppelten / N-mal vorkommenden Elemente werden einmal / (N -1)-mal entfernt.

Zwei Mengen
|A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B|
|A ∩ B| = |A| + |B| - |A ∪ B|

Drei Mengen
|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| - |A ∩ B| - |A ∩ C| - |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|
|A ∩ B ∩ C| = |A ∪ B ∪ C| - |A| - |B| - |C| + |A ∩ B| + |A ∩ C| + |B ∩ C|

(die jeweils untere Formel ergibt sich aus der jeweils oberen durch Termumstellung)